R-Pakete

• R ist erweiterbar.
• Für eine große Zahl Anwendungen existieren zusätzliche nützliche Funktionen, die in Paketen organisiert sind.
• Um sie nutzen zu können, muss man das entsprechende Paket zuerst laden.
• Um ein Paket laden zu können muss es installiert sein. Die Installation kann systemweit erfolgen (Administrator) oder in eine persönliche Bibliothek.

R-Pakete installieren

							# Um ein R-Paket zu installieren reicht folgendes
							> install.packages('paketname')

							# Um ein Installationsverzeichnis explizit anzugeben:
							> install.packages('paketname', lib='/home/username/myRlib')
						

Es gibt immer mindestens zwei Paket-Bibliotheken, "site-wide" (Administrator) und benutzerspezifisch.

CRAN-Mirrors

• Pakete werden standardmäßig über das Internet von einem der CRAN-Spiegelserver installiert.
• CRAN: "Comprehensive R archive network''
• CRAN ist die zentrale Anlaufstelle für veröffentlichte R-Pakete. Um die Serverlast gering zu halten existieren zahlreiche, weltweit verteilte Mirror-Server mit gleichem Inhalt.
• Es gibt noch andere Paketquellen, wie BioConductor oder Github…

Andere Möglichkeiten

• Ein spezialisiertes Paket für den Umgang mit Updates und Softwaremanagement: installr
• Bietet komfortablere Funktionen: updateR(), install.RStudio(), install.pandoc(), uninstall.packages()...
• devtools bietet u.a. Funktionen zur Paketinstallation von Quellen wie Github, Gitlab, Bitbucket, Bioconductor...
• remotes spezialisierter Ersatz für die Installationsfunktionen von devtools

							remotes::install_github('repository/paketname') # Z.Bsp. per remotes von GitHub
						

R-Pakete entfernen

remove.packages('Paketname') entfernt Pakete, egal aus welcher Quelle sie installiert wurden.

Nötigenfalls kann man auch einfach den Paketordner aus der lokalen Paketbibliothek löschen.

R-Pakete installieren

							> install.packages('ggplot2')
							Installiere Paket nach '/home/username/R/x86_64-pc-linux-gnu-library/3.4'
							(da 'lib' nicht spezifiziert)
							– Bitte einen CRAN Spiegel fuer diese Sitzung auswaehlen –
							versuche URL 'https://ftp.gwdg.de/pub/misc/cran/src/contrib/ggplot2_2.2.1.tar.gz'
							Content type 'application/octet-stream' length 2213308 bytes (2.1 MB)
							==================================================
							downloaded 2.1 MB

							* installing *source* package 'ggplot2' ...
							** Paket 'ggplot2' erfolgreich entpackt und MD5 Summen ueberprueft
							...
							* DONE (ggplot2)

							Die heruntergeladenen Quellpakete sind in
									'/tmp/RtmpCnOyO7/downloaded_packages'

						

R-Pakete laden

						> library(paketname) # keine Anfuehrungszeichen

						> library(help=ggplot2) # gibt einen Ueberblick ueber den Paketinhalt
						

Einige weitere häufig benötigte Befehle

Weitere Befehle – grep

grep(): Mit der Funktion werden übereinstimmende Muster in einem "character" Vektor gesucht.

Beispiel:

							# Im folgenden Bespiel sollen alle "GC" in kurzen Sequenzen gesucht werden

							> seq <- c("GTGGGGCATTTACGTGGCT", "AATTAAACATGTAG", 
								"GCGCAAATAGTCT", "AAAGACAGTGATGACCC")
							> grep("GC", seq, perl = TRUE, value = FALSE)

							[1] 1 3
						

Weitere Befehle – grep

Wenn das Argument value = FALSE gesetzt ist oder value nicht spezifiziert ist, gibt grep() die Indices der entsprechenden Elemente zurück.

Wird value = TRUE gesetzt, werden die entsprechenden Elemente ausgegeben.

							# Jetzt werden die Elemente ausgegeben
							> grep("GC", seq, perl = TRUE, value = TRUE)

							[1] "GTGGGGCATTTACGTGGCT" "GCGCAAATAGTCT"
						

Weitere Befehle – sub

sub() Wie bei grep() werden übereinstimmende Elemente in einem "character" Vektor gesucht. In diesem Fall wird der erste übereinstimmende String ersetzt.

							> sub("GC", "GT", seq, perl = TRUE)

							[1] "GTGGGGTATTTACGTGGCT" "AATTAAACATGTAG" "GTGCAAATAGTCT"
							[4] "AAAGACAGTGATGACCC"
						

gsub() ersetzt im Gegensatz zu sub() alle übereinstimmenden Elemente.

							> gsub("GC", "GT", seq, perl = TRUE)

							[1] "GTGGGGTATTTACGTGGTT" "AATTAAACATGTAG" "GTGTAAATAGTCT" "AAAGACAGTGATGACCC"
						

Weitere Befehle – apply

apply() wendet eine Funkion spalten- oder zeilenweise auf eine Matrix oder ein Array an. Durch dieses vektorwertige Programmieren werden Schleifen umgangen.

							apply(X, MARGIN, FUN, ...)
						

							> X <- matrix(c(2, 10, 8, 5, 18, 7, 
								9, 4, 17), nrow = 3)

							> apply(X, 2, max)
							[1] 10 18 17
						

Weitere Befehle – lapply

lapply() wendet eine Funktion elementweise auf eine Liste, einen dataframe oder einen Vektor an. Eine Liste der Länge des ursprünglichen Objektes wird ausgegeben.

Allgemeine Form:

							lapply(X, FUN, ...) 
						

Weitere Befehle – lapply

Z.B.: Wir generieren einen Dataframe mit Expressionswerten für verschiedene Gene (MEDEA; FIS; FIE; PHE; MEI) in zwei Replikaten (rep1 und rep2):

							# data.frame mit Gennamen und Expressionswerten
							> data <- data.frame(genes = c("MEDEA", "FIS", "FIE", "PHE", "MEI"),
								 expr_rep1 = c(122, 1028, 10, 458, 77), exprs_rep2 = c(98, 999, 20, 387, 81),
								 stringsAsFactors = FALSE)

							> data
							  genes expr_rep1 exprs_rep2
							1 MEDEA       122         98
							2   FIS      1028        999
							3   FIE        10         20
							4   PHE       458        387
							5   MEI        77         81
						

Weitere Befehle – lapply

							# Im Folgenden wollen wir den Logarithmus zur Basis 2 der Expressionsdaten auslesen
							> y <- lapply(data[,2:3], log2)

							# Als Ergebnis erhalten wir eine Liste
							> y

							$expr_rep1
							[1]  6.930737 10.005625  3.321928  8.839204  6.266787

							$exprs_rep2
							[1] 6.614710 9.964341 4.321928 8.596190 6.339850
						

Weitere Befehle – sapply

Ein einfaches Objekt erhalten wir als Rückgabe, wenn wir statt lapply sapply benutzen. Hier erfolgt die Ausgabe in Form einer Matrix:

							> z <- sapply(data[, 2:3], log2)
							> z
								 expr_rep1 exprs_rep2
							[1,]  6.930737   6.614710
							[2,] 10.005625   9.964341
							[3,]  3.321928   4.321928
							[4,]  8.839204   8.596190
							[5,]  6.266787   6.339850
						

Die apply-Familie

Es ist nicht immer leicht, die richtige Funktion auszuwählen.

Weitere Befehle – length

							# e.g. a vector
							> a<-2:11 
							> length(a)
							[1] 10
						

							# e.g. a matrix
							> a<-matrix(1:12,nrow=3) # e.g. matrix
							> a
							     [,1] [,2] [,3] [,4]
							[1,]    1    4    7   10
							[2,]    2    5    8   11
							[3,]    3    6    9   12
							> length(a)
							[1] 12
						

							# e.g. dataframe
							> b<-data.frame(1:2, 2:3) 
							> b
							  X1.4 X2.5
							1    1    2
							2    2    3
							> length(b)
							[1] 2
						

Weitere Befehle – rev

								# vector
								> a<-1:11
								> a
								 [1]  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
								> rev(a)
								 [1] 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1
							

								# matrix
								m<-matrix(1:12,nrow=3)
								> m
								     [,1] [,2] [,3] [,4]
								[1,]    1    4    7   10
								[2,]    2    5    8   11
								[3,]    3    6    9   12
								> rev(m)
								 [1] 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1
							

								# data frame
								> rev(data)
								  exprs_rep2 expr_rep1 genes
								1         98       122 MEDEA
								2        999      1028   FIS
								3         20        10   FIE
								4        387       458   PHE
								5         81        77   MEI
							

Noch mehr Funktionen!

• round(), floor(), ceiling(): Zahlen runden.
• subset()
• %in%
• replace()

round() et al.

								> round(1.3)
								[1] 1
								> floor(1.3)
								[1] 1
								> ceiling(1.3)
								[1] 2
							

subset()

								b <- data.frame(x=1:10,y=11:20,z=21:30)
								> b
								    x  y  z
								1   1 11 21
								2   2 12 22
								...
							

									> subset(b,y>13)
									    x  y  z
									4   4 14 24
									5   5 15 25
									6   6 16 26
									...
							

replace()

								> a <- 1:10
								> a>4
								 [1] FALSE FALSE FALSE FALSE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE
								> replace(a, a>4, 99)
								 [1]  1  2  3  4 99 99 99 99 99 99
							

%in%

								> a <- 1:10
								> 1%in%a
								[1] TRUE
								> 11%in%a
								[1] FALSE
							

Bereiche der Statistik

• beschreibende Statistik Die beschreibende Statistik hat zum Ziel, empirische Daten durch Grafiken, Tabellen und Kennzahlen übersichtlich zu beschreiben und zu sortieren
• schliessende Statistik Die schliessende Statistik hat zum Ziel, aus Daten einer Stichprobe Eigenschaften einer Grundgesamtheit abzuleiten. Mathematische Methoden werden für Vorhersagen, Generaliserungen und Schätzungen verwendet.

Deskriptive Statistik

Beschreibende Statistik: Zusammenfassen, Ordnen und Beschreiben von Daten.

• grafisch - in den folgenden Folien zusammengefasst
• nummerisch - wird danach behandelt

Diagrammtypen

• Tortendiagramm
• Balkendiagramm
• Histogramm
• Scatterplot

Grafiken

Beispiele für häufig zur Beschreibung von Daten eingesetzte Grafiken sind Boxplots, Pies, Histogramme

R bietet:

• in R implementierte Funktionen für Grafiken, einige werden wir in der Folge kennenlernen
• spezielle Pakete, die das Erstellen von Grafiken ermöglichen, beispielsweise die "library" lattice
  (https://cran.r-project.org/web/packages/lattice/lattice.pdf)

Pie-Chart

Ein Pie-Chart dient zur Darstellung von Werten als Stücke eines Kreises in unterschiedlichen Farben.

Als Grundfunktion dient die Funktion pie()

							> pie(x, labels, radius, main, col, clockwise)
						

• x: Vektor der Daten
• labels: Beschreibung der Teilstücke
• radius: Radius der Teilstücke mit Werten zwischen -1 und 1
• main: Titel des Charts
• col: Farben der Farbpalette
• clockwise: TRUE – im Uhrzeigersinn, FALSE – entgegen

Tortenbeispiel

							# Im folgenden Beispiel werden die Bebauung des Landes von 
							# Oekogemuesebauer Ernst mit verschiedenem Gemuese in % der 
							# Gesamtflaeche angegeben

							# Generieren der Daten

							> x <- c(5, 10, 7, 3, 4, 68)
							> labels <- c("Zucchini", "Tomaten", "Gurken", "Feldsalat", "Rosenkohl", "Mais")

							# Benennen der Datei und Wahl des Grafikformats
							> png(file = "Ernsts_Acker.png")

							# Generieren des Pies
							> pie(x, labels, clockwise = TRUE)

							# Speichern der Grafik
							> dev.off()
						

Tortenbeispiel

Tortenbeispiel

							# Generieren der Daten
							> x <- c(5, 10, 7, 3, 4, 68)
							> labels <- c("Zucchini", "Tomaten", "Gurken", "Feldsalat", "Rosenkohl", "Mais")

							# Benennen der Datei
							> png(file = "Ernsts_Acker_neu.png")

							# Generieren des Pies
							> pie(x, labels, main = "Ernsts Acker", col = rainbow(length(x)))

							# Speichern der Grafik
							> dev.off()
						

Tortenbeispiel

Tortenbeispiel

							> x <- c(5, 10, 7, 3, 4, 68)
							> labels <- c("5%", "10%", "7%", "3%", "4%", "68%")
							>
							> png(file = "Ernsts_Acker_Anteile.png")
							>
							> pie(x, labels, main = "Gemuesebauer Ernsts Acker",col = rainbow(length(x)))
							> legend("topright",
								c("Zucchini", "Tomaten", "Gurken", "Feldsalat", "Rosenkohl", "Mais"), 
								cex = 0.8, fill = rainbow(length(x)))
							> # Save the file.
							> dev.off()
						

Tortenbeispiel

3D-Torten!

							# Laden des Packets plotrix
							> library(plotrix)

							> # Generieren der Daten
							> x <- c(5, 10, 7, 3, 4, 68)
							> labels <- c("5%", "10%", "7%", "3%", "4%", "68%")
							>
							> # Benennen des Charts
							> png(file = "Ernsts_Acker_3D.png")
							>
							> # Plotten.
							>
							> pie3D(x,labels = labels , explode = 0.1, main = "Ernsts Acker")
							> legend("topright",
								c("Zucchini", "Tomaten", "Gurken", "Feldsalat", "Rosenkohl", "Mais"),
								cex = 0.8, fill = rainbow(length(x)))
							> # Save the file.
							> dev.off()
						

Tortenbeispiel

Balkendiagramm

Eine andere Möglichkeit der Darstellung von Daten ist das Balkendiagramm. In R wird es durch die Funktion barplot() generiert.

Allgemeine Form:

							barplot(H, xlab, ylab, main, names.arg, col)
						

• H Vektor der Daten
• xlab Beschriftung der x Achse
• ylab Beschriftung der y Achse
• main Beschriftung des Graphen
• names.arg Vektor der Beschriftungen unter den Balken
• col Farbe(n)

Balkenbeispiel

							> # Generieren der Daten
							>
							> H <- c(5, 10, 7, 3, 4, 68)
							> M <- c("Zucchini", "Tomaten", "Gurken", "Feldsalat", "Rosenkohl", "Mais")
							>
							> # Benennen des Balkendiagramms
							> png(file = "Ernsts_Acker_Balkendiagramm.png")
							>
							> # Generieren des Diagramms
							>
							> barplot(H,names.arg = M,xlab = "Feldfruechte", ylab = "Anbauflaeche in %",
								col = "gray", main = "Ernsts Acker Balkendiagramm", border = "black")
							> # Speichern des Diagramms
							> dev.off()
						

Balkenbeispiel

Histogramm

Histogramm

Allgemeine Form

							hist(v,main,xlab,xlim,ylim,breaks,col,border)
						

mit

• v: Vektor mit nummerischen Werten, die im Histogramm genutzt werden
• main: Beschriftung des Histogramms
• xlab: Beschriftung der x Achse
• ylab: Beschriftung der y Achse
• xlim: beschreibt den Bereich der Werte auf der x Achse
• ylim: beschreibt den Bereich der Werte auf der y Achse
• breaks: legt die Breite der einzelnen Balken fest
• col: legt die Farbe fest
• border: legt die Farbe der Umrandung der Balken fest

Histobeispiel

							> x <- rnorm(1000)
						

							> hist(x)
						

Histobeispiel

Da wir keine Datei ausgewählt haben sollte die Grafik auf dem Bildschirm ausgegeben werden.

Histobeispiel

							# Im Folgenden erstellen wir aus den Zufallszahlen ein Histogramm mit Beschriftungen
							> hist(x, main = "Histogramm Beispiel", xlab = "Zufallszahlen", ylab = "Anzahl")

							# Nun wird ein Rahmen um das Histogramm hinzugefuegt
							> box()
						

Histobeispiel

Histobeispiel

Um das Histogramm zu verfeinern, möchten wir nun die Farbe der Balken definieren, das erfolgt mit col. Dazu legen wir noch eine feinere Aufteilung der x-Achse in Intervalle fest. Das geschieht mit breaks. Mit breaks = 50 legen wir fest, dass die x-Achse in 50 Intervalle geteilt ist.

							# Hier der Code
							> hist(x, main = "Histogramm Beispiel", xlab = "Zufallszahlen",
								ylab = "Anzahl", col = "deepskyblue", breaks = 50)
							> box()
						

Histobeispiel

Liniendiagramm

							> linie <- c(27:7)
							> plot(linie, type = "o", col = "deepskyblue", xlab = "x", ylab = "y")
						

Scatterplot

							>?mtcars
							mtcars {datasets}	R Documentation
							Motor Trend Car Road Tests
							Description
							...
							Format
							A data frame with 32 observations on 11 variables.
							[, 1] 	mpg 	Miles/(US) gallon
							[, 2] 	cyl 	Number of cylinders
							[, 3] 	disp 	Displacement (cu.in.)
							[, 4] 	hp 	Gross horsepower
							[, 5] 	drat 	Rear axle ratio
							[, 6] 	wt 	Weight (1000 lbs)
							[, 7] 	qsec 	1/4 mile time
							[, 8] 	vs 	V/S
							[, 9] 	am 	Transmission (0 = automatic, 1 = manual)
							[,10] 	gear 	Number of forward gears
							[,11] 	carb 	Number of carburetors
							...
						

Scatterplot mtcars

							# Erstellen des Dataframes
							> input <- mtcars[, c(1,6)]

							> head(input)
											   mpg    wt
							Mazda RX4         21.0 2.620
							Mazda RX4 Wag     21.0 2.875
							Datsun 710        22.8 2.320
							Hornet 4 Drive    21.4 3.215
							Hornet Sportabout 18.7 3.440
							Valiant           18.1 3.460

							# Bennenen des Plots
							> png(file = "scatterplot_mtcars.png")
						

Scatterplot mtcars

							# Plotten von mpg und wt fuer alle Autos mit einem Gewicht zwischen
							# 2 und 5 und einer mpg zwischen 16.4 und 30

							> plot(x = input$wt, y = input$mpg, main = "Scatterplot",
								xlab = "wt", ylab = "mpg", xlim = c(2, 5), ylim = c(16.4, 30))
						

Scatterplot mtcars

Weitere Methoden der deskriptiven Statistik

• Zentrale Tendenzen: Mittelwert, Median, Modus
• Quantile
• Streuungsmaß

Zentrale Tendenz

Zentrale Tendenz

• Das arithmetrische Mittel gewichtet alle Zahlen gleich, daher ist es für Ausreißer anfällig.
• Das arithmetrische Mittel ist gut zur Beschreibung von symmetrischen Verteilungen.
• Eine Variante ist der getrimmte Mittelwert. Hier werden extreme Werte, z.B. die größten und kleinsten 10\% für die Berechnung nicht berücksichtigt.
• In R lässt es sich einfach durch mean() berechnen.

Arithmetisches Mittel

							# Zunaechst erstellen wir einen Vektor
							> x <- c(10, 100, 234, 65, 77, 34, 88, 98, 504, 1)

							# Mit mean() berechnen wir den Mittelwert
							> mean(x)
							[1] 121.1

							# Mit der Option trim = 0.1 wird der groesste und der
							# kleinste Wert nicht beruecksichtigt
							> mean(x, trim = 0.1)
							[1] 88.25
						

Arithmetisches Mittel

							# Durch sort() wird der Vektor zunaechst sortiert
							> y <- sort(x)

							# Die groesste und kleinste Zahl wird nicht beruecksichtigt

							> mean(y[2:9])
							[1] 88.25
						

Arithmetisches Mittel

							# Zunaechst erstellen wir einen neuen Vektor
							> x <- c(10, 100, 234, NA, 65, 77, 34, 88, 98, 504, 1, NA)

							# Wegen der fehlenden Zahlen ergibt
							> mean(x)
							[1] NA

							# Jetzt werden die fehlenden Werte nicht beruecksichtigt
							> mean(x, na.rm = TRUE)
							[1] 121.1
						

Median (Zentralwert)

• …genau in der Mitte liegt, oder…
• …präzise formuliert die Bedinung erfüllt, dass mindestens die Hälfte der Meßwerte kleiner oder gleich bzw. größer oder gleich diesem Wert sind.

Median

							# Zunaechst erstellen wir wieder den Vektor
							> x <- c(10, 100, 234, 65, 77, 34, 88, 98, 504, 1)

							> median(x)
							[1] 82.5
						

Modus

Können Sie am Ende des Kurses eine schreiben…?

Beschreibung eines Datensatzes

Varianz

		> wert <- c(10, 8, 5, 9, 7, 6, 3, 11)
	

Zunächst schauen wir uns den niedrigsten und höchsten Betrag an:

			> range(wert)
			[1]  3 11
		

Es wurden zwischen 3 und 11 Euro ausgegeben. Diese Werte sind stark von möglichen Extremen (Outliern) beeinflusst.

Varianz

		# Der Mittelwert der Ausgaben wird mit mean() ermittelt.

		> mean(wert)
		[1] 7.375
	

		> unterschiede <- wert - mean(wert)

		# Abweichungen vom Mittelwert koennen positiv oder 
		# negativ sein. Daher wird das Quadrat der summierten Werte gebildet.
		> unterschiede
		[1]  2.625  0.625 -2.375  1.625 -0.375 -1.375 -4.375  3.625
	

Varianz

$$ m = \frac{\sum\limits_{j=1}^{n}x_j}{n} $$

Varianz

	# Die Funktion wird aufgestellt
	> variance <- function(x)sum(((x-mean(x))^2))/(length(x)-1)

	# Die Funktion wird ausgefuehrt
	> variance(wert)
	[1] 7.125

	> var(wert)
	[1] 7.125

Standardabweichung

In R berechnet sich das sehr einfach mit der Formel sd().

	# Jetzt berechnen wir die Standardabweichung 
	# vom Wert der Wichtelgeschenke:

	> sd(wert)
	[1] 2.66927
	#  Nochmals zur Kontrolle die Quadratwurzel der Varianz
	> sqrt(var(wert))
	[1] 2.66927

Box und Whisker Plot

Der "Box und Whisker Plot" ist eine einfache Art des Boxplots, bei der gleichzeitig einige Informationen (Mittelwert, Quartile, höchster- und niedrigster Wert) dargestellt werden:

		> boxplot(wert, ylab = "Euro",
			main = "Wichtelpreise")
	

Normalverteilung und Studentische t-Verteilung

Nach dem "Zentralen Grenzwertsatz" (Wahrscheinlichkeitstheorie) sind die Mittelwerte einer großen Zahl unabhängiger Proben ± normalverteilt.

Normalverteilung simuliert

				#  Plot der Mittelwerte von Zufallszahlen

				> means <- numeric(100000)
				> for (i in 1:100000){
				    means[i]<-mean(runif(5)*10)
				  }
				> hist(means, ylim = c(0, 16000))
			

				# Mittelwert und Standardabweichung der Probe 
				# der 100000 Mittelwerte
				> mean(means)
				[1] 5.0026
				> sd(means)
				[1] 1.291312
			

Normalverteilung simuliert

Normalverteilung

		dnorm(x, mean, sd) # allgemeine Form
	

• x: Vektor von Werten
• mean: Mittelwert der Daten der Probe
• sd: Standardabweichung der Mittelwerte

Normalverteilung

# Wir generieren eine Sequenz von Werten zwischen 0 und 10,
# die sich jeweils um 0.1 erhoehen fuer die x-Achse
> xwerte <- seq(0, 10, 0.1)

# Wir geben den Mittelwert und die Standardabweichung fuer
# die Dichteverteilung auf der y-Achse vor
> ywerte <- dnorm(xwerte, mean = 5.0026, sd = 1.291312) * 50000
> lines(xwerte, ywerte, col = "red", type="l")
	

Normalverteilung versus Student'sche t-Verteilung

Wenn die Stichprobe zu klein ist (n < 30) benötigen wir statt der Normalverteilung die Student'sche t-Verteilung

				# Vergleich Normalverteilung und Student'schen
				# t-Verteilung fuer eine Probe mit 5 Freiheitsgraden
				# (1) Plot der Normalverteilung in blau

				> xwerte <- seq(-4, 4, 0.1)
				> ywerte <- dnorm(xwerte)
				> plot(xwerte, ywerte, type = "l", lty = 1, 
					col = "deepskyblue", xlab = "Abweichung", 
					ylab = "Dichteverteilung Wahrscheinlichkeit")

				# Erstellen einer t-Verteilung fuer 5 Freiheitsgrade
				# (2) gestrichelt plotten in rot

				> ywerte <- dt(xwerte, df=5)
				> lines(xwerte, ywertet, type = "l", lty = 2, col = "red")
			

Normalverteilung versus Student'sche t-Verteilung

Schließende Statistik

• dient der Vorhersage von Daten und der Beschreibung von Wahrscheinlichkeiten
• aus Stichproben wird auf das Verhalten einer Grundgesamtheit geschlossen
• beinhaltet Hypothesentests und Regressionsmodelle

Voraussagen anhand der Normalverteilung

68% aller Daten fallen in den Bereich des Mittelwertes ± einer Standardabweichung.

	# Wir nutzen pnorm() um zu ermitteln wieviel % der Daten 
	# kleiner sind als der Mittelwert -1 Standardabweichung

	> pnorm(-1)
	[1] 0.1586553

	> 1-pnorm(1)
	[1] 0.1586553

Voraussagen anhand der Normalverteilung

		> qnorm(c(0.025, 0.975))
		[1] -1.959964  1.959964
	

Voraussagen anhand der Normalverteilung

95% aller Daten fallen in den Bereich des Mittelwertes ±1.96 Standardabweichungen bei Normalverteilung!

Voraussagen anhand der Normalverteilung

Wie kann man anhand dessen die Wahrscheinlichkeit voraussagen, dass ein Wert…

• kleiner ist als ein vorgegebener Wert
• größer ist
• oder genau zwischen zwei Werten liegt?

Voraussagen anhand der Normalverteilung

		#  Ein Plot fuer die entsprechende Normalverteilung
		seeds <- seq(30, 90, 0.1)
		plot(seeds, dnorm(seeds, 60, 8), type = "l",
			xlab = "Samenzahl", ylab = "Wahrscheinlichkeit")
	

Z Score

				> z <- (45-60)/8
				> z
				[1] -1.875
			

Z Score

Z Score

Nun bleibt herauszufinden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Normalverteilung einen Wert von -1.875 oder kleiner annimmt. Dazu nutzen wir wieder pnorm().

	> pnorm(-1.875)
	[1] 0.03039636

Damit erhalten wir eine Wahrscheinlichkeit von etwas über 3%.

Z Score

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schote zwischen 56 und 63 Samen enthält?

		> z1 <- (56-60)/8
		> z2 <- (63-60)/8
		> z1
		[1] -0.5
		> z2
		[1] 0.375
	

Nun ziehen wir die kleinere von der größeren Wahrscheinlichkeit ab:

		> pnorm(0.375)-pnorm(-0.5)
		[1] 0.3376322
	

Die Wahrscheinlichkeit beträgt fast 34%!

Z Score